Τα μαθηματικά διαδραματίζουν καθοριστικό ρόλο για την κατανόηση της συμπεριφοράς και της εργασίας του ηλεκτρικός και ηλεκτρονικά συστήματα . Πολυώνυμα, Άλγεβρα, Πιθανότητες, Ενσωματώσεις και Διαφοροποιήσεις κλπ ... αποτελούν σημαντικό μέρος των εργαλείων που χρησιμοποιούνται για την επίλυση των συστημάτων. Με την αυξανόμενη πολυπλοκότητα των συστημάτων, απαιτούνται πολύ εξελιγμένες μέθοδοι. Οι διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται ευρέως για τον καθορισμό των συστημάτων ελέγχου. Αυτές οι εξισώσεις είναι απλές στην επίλυση. Αλλά η πολυπλοκότητα προκύπτει κατά την επίλυση διαφορικών εξισώσεων υψηλότερης τάξης. Για την επίλυση τέτοιων πολύπλοκων διαφορικών εξισώσεων υψηλότερης τάξης, η μαθηματική μέθοδος που αποδείχθηκε αποτελεσματική είναι Μετασχηματισμός Laplace . Καθώς αυτός ο μετασχηματισμός χρησιμοποιείται ευρέως, είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε τι πραγματικά εννοούσαν και πώς λειτουργούν.

Τι είναι το Laplace Transform;

Στα μαθηματικά, οι μετασχηματισμοί εφαρμόζονται για τον μετασχηματισμό μιας μεταβλητής από τη μία μορφή στην άλλη για να διευκολυνθεί η εξίσωση. Το Laplace μεταμορφώνει σχεδόν το ίδιο πράγμα. Μετατρέπουν τη διαφορική εξίσωση υψηλότερης τάξης σε μια πολυωνυμική μορφή που είναι πολύ εύκολη από την άμεση επίλυση της διαφορικής εξίσωσης.

Αλλά υπάρχουν διάφοροι μετασχηματισμοί όπως ο μετασχηματισμός Fourier, ο μετασχηματισμός z που κάνει το Laplace μετασχηματισμένο ξεχωριστό; Το κύριο πλεονέκτημα του μετασχηματισμού Laplace είναι ότι, ορίζονται τόσο για σταθερά όσο και για ασταθή συστήματα, ενώ οι μετασχηματισμοί Fourier ορίζονται μόνο για σταθερά συστήματα.

Φόρμουλα μετασχηματισμού Laplace

Ένας μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης f (t) σε έναν τομέα χρόνου, όπου t είναι ο πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος με μηδέν, δίνεται ως F (s), όπου υπάρχει s είναι ο σύνθετος αριθμός στον τομέα συχνοτήτων. s = σ + jω
Η παραπάνω εξίσωση θεωρείται ως μονομερής Εξίσωση μετασχηματισμού Laplace . Όταν τα όρια επεκταθούν σε ολόκληρο τον πραγματικό άξονα τότε το Διμερής μετασχηματισμός Laplace μπορεί να οριστεί ως
Σε πρακτικά κυκλώματα όπως Κυκλώματα RC και RL Συνήθως, οι αρχικές συνθήκες χρησιμοποιούνται έτσι, οι μονόπλευροι μετασχηματισμοί Laplace εφαρμόζονται για σκοπούς ανάλυσης.
Ως s = σ + jω, όταν σ = 0 μετασχηματισμοί Laplace συμπεριφέρεται ως μετασχηματισμός Fourier.

“τι σημαίνει μονόπολο διπλή ρίψη ”

Τύποι μετασχηματισμού Laplace

Όροι για την εφαρμογή του Laplace Transform

Οι μετασχηματισμοί Laplace ονομάζονται αναπόσπαστοι μετασχηματισμοί, οπότε υπάρχουν απαραίτητες συνθήκες για τη σύγκλιση αυτών των μετασχηματισμών.
Το f πρέπει να είναι τοπικά ενσωματώσιμο για το διάστημα [0, ∞) και ανάλογα με το αν το σ είναι θετικό ή αρνητικό, το e ^ (- σt) μπορεί να εξασθενεί ή να αυξάνεται. Για διμερείς μετασχηματισμούς Laplace αντί για μία μόνο τιμή, το ακέραιο συγκλίνει σε ένα ορισμένο εύρος τιμών γνωστών ως Περιοχή σύγκλισης.

Ιδιότητες του Laplace Transform:

Γραμμικότητα

Αλλαγή χρόνου

Μετατόπιση στον τομέα S

Αντιστροφή χρόνου

Διαφοροποίηση στον τομέα S

“παράδειγμα συστήματος ελέγχου ανοικτού βρόχου ”

Συνέλευση στο χρόνο

Θεώρημα αρχικής αξίας

Το θεώρημα αρχικής τιμής εφαρμόζεται όταν στο Laplace μετασχηματίζεται ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος από τον βαθμό του παρονομαστή Θεώρημα Τελικής Αξίας:

Εάν όλοι οι πόλοι του sF (s) βρίσκονται στο αριστερό μισό του θεώρηματος τελικής τιμής S-level εφαρμόζεται.

Μετατροπή αντίστροφου Laplace

Λόγω της σύγκλισης, το χαρακτηριστικό Laplace transform έχει επίσης αντίστροφο μετασχηματισμό. Οι μετασχηματισμοί Laplace παρουσιάζουν αντιστοίχιση ενός προς έναν από έναν χώρο λειτουργίας σε έναν άλλο. Ο τύπος του μετασχηματισμού Inverse Laplace είναι

Πώς να υπολογίσετε το Laplace Transform;

Ο μετασχηματισμός Laplace κάνει τις εξισώσεις πιο απλές στη διαχείριση. Όταν δίδεται μια διαφορική εξίσωση υψηλότερης τάξης, εφαρμόζεται ο μετασχηματισμός Laplace που μετατρέπει την εξίσωση σε μια αλγεβρική εξίσωση, καθιστώντας έτσι ευκολότερο τον χειρισμό. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις ρίζες απλοποιώντας αυτήν την αλγεβρική εξίσωση. Τώρα βρίσκεται ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace απλούστερης έκφρασης που λύνει τη δεδομένη διαφορική εξίσωση υψηλότερης τάξης.

Υπολογισμός μετασχηματισμού Laplace

Εφαρμογές του Laplace Transform

Ανάλυση ηλεκτρικού και ηλεκτρονικά κυκλώματα .
Κατανομή σύνθετων διαφορικών εξισώσεων σε απλούστερες πολυωνυμικές μορφές.
Ο μετασχηματισμός Laplace παρέχει πληροφορίες σχετικά με τις σταθερές καθώς και τις παροδικές καταστάσεις.
Στη μηχανική εκμάθηση, ο μετασχηματισμός Laplace χρησιμοποιείται για την πραγματοποίηση προβλέψεων και την ανάλυση στην εξόρυξη δεδομένων.
Ο μετασχηματισμός Laplace απλοποιεί τους υπολογισμούς στη μοντελοποίηση συστήματος.

Εφαρμογή του Laplace Transform στην επεξεργασία σημάτων

Οι μετασχηματισμοί Laplace επιλέγονται συχνά για επεξεργασία σήματος. Μαζί με τον μετασχηματισμό Fourier, το Μετασχηματισμός Laplace χρησιμοποιείται για τη μελέτη σημάτων στον τομέα συχνοτήτων. Όταν υπάρχουν μικρές συχνότητες στο σήμα στον τομέα συχνοτήτων τότε μπορεί κανείς να αναμένει ότι το σήμα θα είναι ομαλό στον τομέα χρόνου. Το φιλτράρισμα ενός σήματος γίνεται συνήθως στον τομέα συχνοτήτων για τον οποίο το Laplace δρα ως σημαντικό εργαλείο για τη μετατροπή ενός σήματος από τομέα χρόνου σε τομέα συχνότητας.

Εφαρμογή Laplace Transform Σε Συστήματα Ελέγχου

Τα συστήματα ελέγχου είναι συνήθως σχεδιασμένα για να ελέγχουν τη συμπεριφορά άλλων συσκευών. Παράδειγμα του συστήματα ελέγχου μπορεί να κυμαίνεται από έναν απλό ελεγκτή οικιακής θέρμανσης έως ένα βιομηχανικό σύστημα ελέγχου που ρυθμίζει τη συμπεριφορά των μηχανημάτων.

Γενικά, οι μηχανικοί ελέγχου χρησιμοποιούν διαφορικές εξισώσεις για να περιγράψουν τη συμπεριφορά διαφόρων λειτουργικών μπλοκ κλειστού βρόχου. Ο μετασχηματισμός Laplace χρησιμοποιείται εδώ για την επίλυση αυτών των εξισώσεων χωρίς την απώλεια σημαντικών μεταβλητών πληροφοριών.

Χαρακτηρισμός Γραμμικών Αμετάβλητων Χρόνων με χρήση Laplace Transform

Για ένα περιστασιακό σύστημα ROC που σχετίζεται με το σύστημα, η λειτουργία είναι το σωστό μισό επίπεδο. Ένα σύστημα είναι αντι-περιστασιακό εάν η παλμική απόκριση h (t) = 0 για t> 0.

Εάν το ROC του συστήματος λειτουργεί H (s) περιλαμβάνει τον άξονα jω τότε το L.T.I. το σύστημα ονομάζεται σταθερό σύστημα. Εάν ένα περιστασιακό σύστημα με ορθολογικές λειτουργίες συστήματος H (ες) έχει αρνητικά πραγματικά μέρη για όλους τους πόλους του, τότε το σύστημα είναι σταθερό.

Έτσι, ο μετασχηματισμός Laplace είναι ένα κρίσιμο εργαλείο για την ανάλυση κυκλωμάτων. Μπορούμε να πούμε ότι το στηθοσκόπιο είναι γιατρός Ο Laplace μετασχηματίζει τον έλεγχο μηχανικού. Τι θεωρείτε ως μετασχηματισμοί Laplace; Με ποιο τρόπο σας βοήθησαν;