Ηλεκτρόνια και τρύπες διαδραματίσουν ουσιαστικό ρόλο στη μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας στο ημιαγωγοί . Αυτά τα σωματίδια διατάσσονται σε διαφορετικό επίπεδο ενέργειας σε έναν ημιαγωγό. Η κίνηση των ηλεκτρονίων από το ένα επίπεδο ενέργειας στο άλλο παράγει ηλεκτρισμό . Ένα ηλεκτρόνιο μέσα στο μέταλλο θα πρέπει να διαθέτει ένα επίπεδο ενέργειας που είναι τουλάχιστον μεγαλύτερο από την ενέργεια φραγμού επιφανείας για να διαφύγει σε υψηλότερο επίπεδο ενέργειας.

Υπήρξαν πολλές διατριβές που προτάθηκαν και έγιναν αποδεκτές εξηγώντας τα χαρακτηριστικά και τη συμπεριφορά των ηλεκτρονίων. Αλλά κάποια συμπεριφορά ηλεκτρονίων, όπως η ανεξαρτησία του ρεύματος εκπομπής στη θερμοκρασία κ.λπ. ... παρέμεινε ακόμα ένα μυστήριο. Στη συνέχεια, μια σημαντική στατιστική, Στατιστικές Fermi Dirac , δημοσιεύθηκε από Ένρικο Φέρμι και Πολ Ντιράκ το 1926 βοήθησε στην επίλυση αυτών των παζλ.

Από τότε Διανομή Fermi Dirac εφαρμόζεται για να εξηγήσει την κατάρρευση ενός άστρου σε έναν λευκό νάνο, να εξηγήσει την ελεύθερη εκπομπή ηλεκτρονίων από μέταλλα κλπ….

Διανομή Fermi Dirac

Πριν μπείτε στο Συνάρτηση Fermi Dirac Distribution ας δούμε η ενέργεια διανομή ηλεκτρονίων σε διάφορους τύπους ημιαγωγών. Η μέγιστη ενέργεια ενός ελεύθερου ηλεκτρονίου μπορεί να έχει σε ένα υλικό σε απόλυτη θερμοκρασία. στο 0k είναι γνωστό ως ενεργειακό επίπεδο Fermi. Η αξία της ενέργειας Fermi ποικίλλει για διαφορετικά υλικά. Με βάση την ενέργεια που κατέχουν τα ηλεκτρόνια σε έναν ημιαγωγό, τα ηλεκτρόνια είναι διατεταγμένα σε τρεις ενεργειακές ζώνες - ζώνη αγωγιμότητας, επίπεδο ενέργειας Fermi, ζώνη Valency.

Ενώ η ταινία αγωγιμότητας περιέχει διεγερμένα ηλεκτρόνια, η ταινία σθένους περιέχει οπές. Τι σημαίνει όμως το επίπεδο Fermi; Το επίπεδο Fermi είναι η ενεργειακή κατάσταση που έχει πιθανότητα occupied να καταλαμβάνεται από ένα ηλεκτρόνιο. Με απλά λόγια, είναι το μέγιστο επίπεδο ενέργειας που μπορεί να έχει ένα ηλεκτρόνιο στα 0k και η πιθανότητα εύρεσης του ηλεκτρονίου πάνω από αυτό το επίπεδο σε απόλυτη θερμοκρασία είναι 0. Σε απόλυτη μηδενική θερμοκρασία, το ήμισυ του επιπέδου Fermi θα γεμίσει με ηλεκτρόνια.

Στο διάγραμμα ενεργειακής ζώνης του ημιαγωγού, το επίπεδο Fermi βρίσκεται στη μέση της αγωγιμότητας και της ζώνης σθένους για έναν εγγενή ημιαγωγό. Για εξωγενή ημιαγωγό, το επίπεδο Fermi βρίσκεται κοντά στη ζώνη σθένους στο Ημιαγωγός τύπου P και για Ημιαγωγός τύπου Ν , βρίσκεται κοντά στη ζώνη αγωγιμότητας.

Το επίπεδο ενέργειας Fermi δηλώνεται με ΕΙΝΑΙ_φά, η ζώνη αγωγιμότητας χαρακτηρίζεται ως ΕΙΝΑΙ_ντο και η ζώνη σθένους συμβολίζεται ως Ε_Β.

Επίπεδο Fermi σε τύπους Ν και Ρ

Επίπεδο Fermi σε ημιαγωγούς τύπου Ν και Ρ

Λειτουργία διανομής Fermi Dirac

Η πιθανότητα ότι η διαθέσιμη ενεργειακή κατάσταση «Ε» θα καταλαμβάνεται από ένα ηλεκτρόνιο σε απόλυτη θερμοκρασία Τ υπό συνθήκες θερμικής ισορροπίας δίνεται από τη συνάρτηση Fermi-Dirac. Από την κβαντική φυσική, η έκφραση διανομής Fermi-Dirac είναι

Όπου k είναι η σταθερά Boltzmann στο ^ΉΠΡΟΣ ΤΗΝ , T είναι η θερμοκρασία σε ⁰ΠΡΟΣ ΤΗΝ και ΕΙΝΑΙ_φά είναι το επίπεδο ενέργειας Fermi σε eV.k = 1,38X10^{-2. 3}Κ / Κ

Το επίπεδο Fermi αντιπροσωπεύει την ενεργειακή κατάσταση με 50% πιθανότητα να γεμίσει εάν δεν υπάρχει απαγορευμένη ζώνη, δηλαδή, εάν Ε = Ε_φά έπειτα f (E) = 1/2 για οποιαδήποτε τιμή θερμοκρασίας.

“τύπο λειτουργικού συστήματος υπολογιστή ”

Η διανομή Fermi-Dirac δίνει μόνο την πιθανότητα κατοχής της πολιτείας σε ένα δεδομένο ενεργειακό επίπεδο, αλλά δεν παρέχει πληροφορίες σχετικά με τον αριθμό των καταστάσεων που διατίθενται σε αυτό το ενεργειακό επίπεδο.

Διάγραμμα κατανομής Fermi Dirac και Energy Band

f (E) Vs (E-E_φά) οικόπεδο

Η παραπάνω πλοκή δείχνει τη συμπεριφορά του επιπέδου Fermi σε διάφορα εύρη θερμοκρασίας Τ = 0⁰Κ, Τ = 300⁰Κ, Τ = 2500⁰ΠΡΟΣ ΤΗΝ. Στο Τ = 0Κ , η καμπύλη έχει χαρακτηριστικά βήματος.

Στο Τ = 0⁰ΠΡΟΣ ΤΗΝ , ο συνολικός αριθμός ενεργειακών επιπέδων που καταλαμβάνουν τα ηλεκτρόνια μπορεί να γίνει γνωστός χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση Fermi-Dirac.

Για ένα δεδομένο επίπεδο ενέργειας Ε> Ε_φά , ο εκθετικός όρος στη συνάρτηση Fermi-Dirac γίνεται 0 και που σημαίνει ότι η πιθανότητα εύρεσης του κατεχόμενου ενεργειακού επιπέδου ενέργειας είναι μεγαλύτερη από ΕΙΝΑΙ_φά είναι μηδέν.

Για ένα δεδομένο επίπεδο ενέργειας ΕΙΝΑΙφά η τιμή του οποίου σημαίνει ότι όλα τα επίπεδα ενέργειας με ενέργεια είναι μικρότερα από εκείνα του επιπέδου Fermi E_φάθα καταληφθεί στις Τ = 0⁰ΠΡΟΣ ΤΗΝ . Αυτό δείχνει ότι το επίπεδο ενέργειας Fermi είναι η μέγιστη ενέργεια που μπορεί να έχει ένα ηλεκτρόνιο σε απόλυτη μηδενική θερμοκρασία.

Για θερμοκρασία μεγαλύτερη από την απόλυτη θερμοκρασία και Ε = Ε_φά , τότε ανεξάρτητα από την τιμή της θερμοκρασίας.

Για θερμοκρασία μεγαλύτερη από την απόλυτη θερμοκρασία και ΕΙΝΑΙφά , τότε το εκθετικό θα είναι αρνητικό. στ (Ε) ξεκινά από 0,5 και τείνει να αυξάνεται προς 1 καθώς το Ε μειώνεται.

Για θερμοκρασία μεγαλύτερη από την απόλυτη θερμοκρασία και Ε> Ε_φά , το εκθετικό θα είναι θετικό και αυξάνεται με το E. f (E) ξεκινά από 0,5 και τείνει να μειώνεται προς το 0 καθώς αυξάνεται το Ε

Fermi Dirac Distribution Boltzmann Προσέγγιση

Η διανομή Maxwell-Boltzmann είναι η συνήθως χρησιμοποιούμενη Προσέγγιση κατανομής Fermi Dirac .

Η διανομή Fermi-Dirac παρέχεται από

Με χρησιμοποιώντας το Maxwell - Κατά προσέγγιση Boltzmann, η παραπάνω εξίσωση μειώνεται σε

Όταν η διαφορά μεταξύ της ενέργειας του μεταφορέα και του επιπέδου Fermi είναι μεγάλη σε σύγκριση με, ο όρος 1 στον παρονομαστή μπορεί να αγνοηθεί. Για την εφαρμογή της διανομής Fermi-Dirac, το ηλεκτρόνιο πρέπει να ακολουθεί την αποκλειστική αρχή του Pauli, η οποία είναι σημαντική στο υψηλό ντόπινγκ. Όμως, η διανομή Maxwell-Boltzmann παραβλέπει αυτήν την αρχή, επομένως η προσέγγιση Maxwell-Boltzmann περιορίζεται σε περιπτώσεις χαμηλής πρόσμιξης.

Στατιστικές Fermi Dirac και Bose-Einstein

Τα στατιστικά στοιχεία Fermi-Dirac είναι ο κλάδος των κβαντικών στατιστικών, που περιγράφει την κατανομή των σωματιδίων σε ενεργειακές καταστάσεις που περιέχει πανομοιότυπα σωματίδια που υπακούουν στην αρχή του αποκλεισμού Pauli Δεδομένου ότι τα στατιστικά στοιχεία F-D εφαρμόζονται σε σωματίδια με μισό ακέραιο γύρισμα, αυτά ονομάζονται φερμιόνια.

Ένα σύστημα που αποτελείται από θερμοδυναμικά σε ισορροπία και πανομοιότυπα σωματίδια, στην κατάσταση ενός μορίου σωματιδίων Ι, ο μέσος αριθμός φερμίων δίνεται από την κατανομή F-D ως

πού είναι η κατάσταση ενός μορίου Εγώ , το συνολικό χημικό δυναμικό δηλώνεται με, προς την_σι είναι η σταθερά Boltzmann ενώ Τ είναι η απόλυτη θερμοκρασία.

Τα στατιστικά στοιχεία της Bose-Einstein είναι το αντίθετο των στατιστικών F-D. Αυτό εφαρμόζεται σε σωματίδια με πλήρη ακέραια περιστροφή ή χωρίς περιστροφή, που ονομάζονται Bosons. Αυτά τα σωματίδια δεν συμμορφώνονται με την αρχή αποκλεισμού Pauli, που σημαίνει ότι η ίδια κβαντική διαμόρφωση μπορεί να γεμίσει με περισσότερα από ένα μποζόνια.

Οι στατιστικές F-D και οι στατιστικές Bore-Einstein εφαρμόζονται όταν το κβαντικό αποτέλεσμα είναι σημαντικό και τα σωματίδια δεν μπορούν να διακριθούν.

Πρόβλημα διανομής Fermi Dirac

Σε μια σταθερή θεωρήστε το επίπεδο ενέργειας που βρίσκεται 0.11eV κάτω από το επίπεδο Fermi. Βρείτε την πιθανότητα αυτού του επιπέδου να μην καταλαμβάνεται από το ηλεκτρόνιο;

Πρόβλημα διανομής Fermi Dirac

Αυτό είναι όλο Διανομή Fermi Dirac . Από τις παραπάνω πληροφορίες τελικά, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι μακροσκοπικές ιδιότητες ενός συστήματος μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας μια συνάρτηση Fermi-Dirac. Χρησιμοποιείται για να γνωρίζει την ενέργεια του Fermi σε περιπτώσεις μηδενικής και πεπερασμένης θερμοκρασίας. Ας απαντήσουμε σε μια ερώτηση χωρίς υπολογισμούς, με βάση την κατανόησή μας για τη διανομή Fermi-Dirac. Για επίπεδο ενέργειας E, 0,25e.V κάτω από το επίπεδο Fermi και θερμοκρασία πάνω από την απόλυτη θερμοκρασία, μειώνεται η καμπύλη κατανομής Fermi προς 0 ή αυξάνεται προς 1;